Фамилия Дремичев — один из тех случаев, когда прозвище предка застыло в суффиксе, а корень уводит в старый русский говор. Основа здесь — «дрёма» или «дрёмич», человек, которого на Руси могли прозвать за медлительность, сонный вид или привычку часто задумываться. Глагол «дремать» в древнерусском имел то же значение, что и сейчас, но прозвище Дрема, Дремич или Дремок не обязательно было обидным: так могли назвать спокойного, флегматичного человека, а иногда и того, кто работал неспешно, но основательно.

Модель образования типична для восточнославянских фамилий: к основе «Дремич» (или «Дремок») добавили притяжательный суффикс -ев. Форма Дремичев буквально означает «сын Дремича», то есть потомок человека по прозвищу Дрема. В русской ономастике суффикс -ич в прозвищах встречался реже, чем в отчествах, но он зафиксирован — например, фамилии Дрёмов, Дремин, Дремков. Дремичев стоит в этом ряду особняком: он показывает, что прозвище бытовало именно в форме на -ич, что может указывать на северные или северо-восточные русские говоры, где такая модель была распространена.

Встречаемость фамилии невысокая. По данным открытых источников, Дремичевы чаще всего фиксируются в Вологодской, Кировской областях и в Пермском крае — то есть в зоне позднего заселения Русского Севера и Приуралья. Это косвенно подтверждает версию о бытовом, а не церковном происхождении: в тех краях фамилии часто закреплялись позже, в XVII–XVIII веках, и сохраняли живые черты местной речи.

Интересно сравнить Дремичева с однокоренной фамилией Дрёмов. У Дрёмова корень тот же, но суффикс -ов типичен для центральных и южных областей. Дремичев, с его редким -ичев, звучит архаичнее и локальнее. Если Дрёмовых можно встретить повсеместно, то Дремичев почти всегда выдаёт северные корни рода.

Никаких документальных сведений о дворянстве или знатных носителях фамилии нет. Скорее всего, предки Дремичевых были крестьянами или посадскими — людьми, чьи прозвища прижились в деревне и не попали в гербовники. В этом есть своя ценность: фамилия сохранила живое слово, которое в современном языке уже почти не используется как прозвище.