Фамилия Дремина (а также её вариант Дрёмина) отталкивается от прозвища Дрема или Дрёма. В древнерусском языке «дрёма» означала неглубокий сон, полусонное состояние. Скорее всего, прозвище прилепилось к человеку с соответствующей манерой поведения — любителю поспать, сонливому или медлительному. Однако прямое толкование через сонливость — не единственное. В народной культуре Дремой называли святочную хороводную игру: в центре круга сидел водящий, которого по песне выбирали для поцелуя. Прозвище мог получить завсегдатай таких игрищ или человек, который часто оказывался в центре внимания на посиделках.

Слово «дрема» в значении «полусон» дало жизнь не только прозвищу, но и целому ряду однокоренных фамилий, но у Дреминых есть своя историческая зацепка. В «Ономастиконе» С. Б. Веселовского зафиксирован пушкарь из Зарайска Дмитрий Дремин (1624 год). Это одна из ранних документальных записей, показывающая, что прозвище бытовало в служилой среде, а не только в крестьянской. Суффикс -ин указывает на принадлежность: Дремин — сын Дремы, то есть фамилия образована напрямую от отцовского прозвища без промежуточных форм.

В архивных записях фамилия прослеживается по центральным и восточным регионам. В Книге памяти Рязанской области упомянут Дремин Данила Андреевич, 1871 года рождения, из села Тырново Шиловского района. Из документов Республики Башкирия известен Дремин Андриян Михайлович (1887 года рождения), проживавший в Белокатайском районе. В Липецкой области записан Дремин Андрей Тимофеевич (1889 года рождения) из деревни Дикопорожье Елецкого округа. Таким образом, география фамилии охватывает рязанские, липецкие земли и уходит на восток — в Башкирию, что типично для фамилий, распространённых вместе с переселенческими потоками XVII–XIX веков.