Фамилия Дремин (встречается и вариант с ё — Дрёмин) образована от прозвища Дрема (Дрёма). Исходное слово — «дрема» (или «дрёма»), которым в старину называли легкий, неглубокий сон, состояние сонливости. Прозвище могло закрепиться за человеком по разным причинам. Самое прямое объяснение — любовь поспать, вялость и медлительность в характере и поведении. Но есть и другая версия: Дремой называли старинную хороводную и святочную игру, где один из участников сидит в кругу, выбирает кого-то по песне, целует и сажает на свое место. В этом случае прозвище мог получить любитель этой игры.

Однокоренные именования фиксируются в письменных источниках с XVII века. В словаре С. Б. Веселовского отмечен пушкарь из Зарайска Дмитрий Дремин, запись относится к 1624 году. Этот документ — одна из ранних фиксаций фамилии, причем в среде служилых людей по прибору (пушкарей), а не только крестьян.

Фамилия образована по стандартной русской модели: к основе прозвища Дрема добавился патронимический суффикс -ин, указывающий на принадлежность («чей?» — сын Дремы). Со временем фамилия закрепилась за потомками. В более поздних документах XVIII–XIX веков Дремины встречаются в разных губерниях. В Книге памяти Рязанской области есть запись о Дремине Даниле Андреевиче (родился в 1871 году в селе Тырново Шиловского района). Из документов Республики Башкирия известен Дремин Андриян Михайлович (1887 года рождения, проживал в Белокатайском районе). В Книге памяти Липецкой области значится Дремин Андрей Тимофеевич (родился в 1889 году в деревне Дикопорожье Елецкого округа). Таким образом, география фамилии охватывает центральные и южные регионы России, а также Урал и Поволжье, куда переселенцы уходили в ходе колонизации.