Фамилия Дремов — из числа тех, что образованы от прозвища, а не от крестильного имени. В основе лежит слово «дрёма»: в старину так называли неглубокий сон, состояние полудрёмы. Человек, получивший прозвище Дрёма, скорее всего, был медлительным, вялым или просто любил поспать. Модель образования простая и типичная для русских фамилий: прозвище плюс патронимический суффикс -ов, означающий «чей?» — то есть «сын Дрёмы».

Однако есть и вторая версия, менее очевидная, но не менее интересная. Словом «дрёма» называли старинную хороводную и святочную игру: один участник сидит в кругу с закрытыми глазами, а остальные ходят вокруг и поют; по окончании песни «дрёма» выбирает кого-то из круга, целует и уступает своё место. Прозвище Дрёма могли дать завсегдатаю таких игрищ или тому, кто их придумывал и водил. В этом случае фамилия несёт не бытовую, а скорее обрядовую окраску.

С точки зрения словообразования обе версии ведут к одной модели — прозвищной основе с суффиксом -ов. Это одна из самых распространённых схем в русской антропонимии, и она не даёт подсказки о социальном статусе предка: Дремовыми могли быть и крестьяне, и посадские люди. География фамилии не привязана к одному региону — встречается в разных областях, что говорит о давнем и самостоятельном возникновении прозвища в разных местах.

Интересно, что ударение в фамилии плавающее: одни носители произносят Дрёмов (через ё, с ударением на первый слог), другие — Дремов (с ударением на второй). Второй вариант ближе к литературной норме, но первый сохраняет связь с исходным словом «дрёма», которое в диалектах могло звучать иначе. Эта особенность — лишнее подтверждение, что фамилия родилась в живой речи, а не в канцелярии.