Фамилия Дремук — редкий пример того, как прозвище превратилось в фамилию с помощью украинского или белорусского суффикса -ук. Если в русском языке для этого чаще использовали суффиксы -ов или -ин (Дремин, Дремов), то на юго-западных землях предпочитали модель, указывающую на прямую связь с человеком: «сын Дремы» или «потомок Дремы». Такой словообразовательный поворот сразу отсекает основную массу похожих фамилий и сужает ареал — Дремук, скорее всего, закрепилась на территории современной Украины или Беларуси.

В основе лежит прозвище Дрема. В старину «дремой» называли не только сонливость, но и сам легкий, поверхностный сон. Прозвище могло прилипнуть к человеку по двум причинам. Первая — бытовая: любитель поспать, тот, кто часто клевал носом. Вторая — характерологическая: вялый, медлительный, нерасторопный человек, которого постоянно клонило в сон. Иногда Дремой называли и младенца, который много спал, — в этом случае имя выполняло обережную функцию, но такая версия менее вероятна, так как имя Дрема в источниках встречается как взрослое прозвище.

Единственное упоминание в исторических документах, которое можно привести в связь, — запись в словаре С. Б. Веселовского: Дремин Дмитрий, пушкарь, 1624 год, Зарайск. Это косвенно подтверждает, что основа «дрем-» бытовала в служилой среде и не носила однозначно уничижительного оттенка. Если бы Дрема было только насмешливым прозвищем, вряд ли его дали бы пушкарю — человеку, отвечающему за артиллерию.

Фамилия Дремук стоит в одном ряду с однокоренными Дремин, Дремов, Дремлюк, Дремлюга, Дремач. Разница в суффиксах показывает, где именно закрепилась фамилия: -ук тяготеет к западным и южным говорам. Таким образом, предок современного носителя фамилии Дремук — это, скорее всего, человек из западнорусских земель, которого окружающие знали под прозвищем Дрема, а его дети и внуки стали Дремуками.