Фамилия Дрещук звучит на украинский или белорусский лад, и это не случайно. Её основа — прозвище или имя Дрещ, а суффикс -ук (вариант -чук) указывает на происхождение: «сын» или «потомок» Дреща. Такая модель образования — одна из самых типичных для западных и центральных регионов Украины, а также для юга Беларуси. Если фамилия Дрещук — украинская, то она могла возникнуть на Волыни, Подолье или в Галичине; если белорусская — то на Полесье или в Гродненской области.

Корень «дрещ» — тёмный и редкий. В украинских и белорусских говорах нет прямого слова «дрещ» с устоявшимся значением. Можно предположить два варианта происхождения. Первый: это фонетический вариант слова «дрищ» — так в некоторых диалектах называли тонкий, хлипкий стебель или жидкое, водянистое растение. Прозвище Дрещ могли дать человеку худощавому, слабосильному, либо, наоборот, насмешливо — тому, кто казался «неосновательным». Второй вариант: корень связан с глаголом «дрещати» (дребезжать, трещать) или существительным «дрещ» в значении «треск», «шум». В таком случае прозвище могло относиться к говорливому, шумному человеку или, к примеру, к ремесленнику, работа которого сопровождалась треском (столяр, плотник, бондарь).

Есть и более прозаическая версия: Дрещук — это патроним от имени Дрещ, которое могло быть сокращённой формой от редкого канонического имени, например, Андрей (через форму Дреч, Дрец). Но такое предположение менее надёжно, так как не подкреплено письменными источниками. В старых метриках и ревизских сказках фамилия Дрещук практически не встречается до XIX века, что характерно для крестьянских фамилий, которые закрепились поздно — после отмены крепостного права в Российской империи.

Сравните с однокоренными фамилиями: Дрещенко, Дрещинский, Дрещ. Все они редки и сконцентрированы в основном на западе Украины и в соседних областях Беларуси. Если ваш предок носил фамилию Дрещук, он с высокой вероятностью был крестьянином или ремесленником из небольшого села, и его прозвище закрепилось за потомками без изменений — как это часто бывало в украинской ономастике.