Фамилия Дринков — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, почти наверняка связано с глаголом «дринкать». В русских говорах, особенно на юге и западе, это слово означало «пить», причём чаще с оттенком неумеренности или привычки выпивать. Соответственно, Дринком в народе могли прозвать человека, который любил выпить или, возможно, держал питейное заведение. Суффикс -ов указывает на типичную модель образования русских фамилий: сначала было прозвище Дринок, а затем его сын или потомок стал записываться как Дринков — «из рода Дринка».

Менее правдоподобна, но всё же возможна версия, что основа не глагольная, а звукоподражательная. «Дринк» могло имитировать звон посуды, бульканье жидкости или даже чью-то быструю, дробную речь. Однако в ономастике такие гипотезы обычно уступают более очевидной смысловой связи: если слово существует в языке как бытовое обозначение действия, его и берут за основу.

Географически фамилия тяготеет к южнорусским областям и, вероятно, к украинскому пограничью. В украинском языке «дринкати» тоже имеет значение «пить», и фамилия могла возникнуть независимо в крестьянской среде. Никакого отношения к английскому drink (пить) у неё нет — это случайное внешнее совпадение, возникшее уже в наше время.

В дореволюционных метрических книгах фамилия Дринков встречается редко, что подтверждает её локальный характер. Сословно она почти наверняка крестьянская или мещанская: прозвища, образованные от привычек и бытовых черт, редко давали дворянам. Сегодня носители фамилии живут в основном в центральной России и на юге, но численно их немного.