Фамилия Дринкина — это женская форма, а её мужской вариант — Дринкин. Она образована по простой и распространённой модели с суффиксом -ин, который в русских фамилиях указывает на принадлежность: «чей?» — Дринкин, то есть сын или потомок человека по прозвищу или имени Дринка.

Основа фамилии — слово «дринка». В русских говорах так называли небольшую деревянную посудину, кадку или ведёрко, а также меру жидкости. Прозвище Дринка могли дать бондарю, который делал такие кадки, или человеку, который торговал ими. Впрочем, не исключён и переносный смысл: так могли окрестить коренастого, плотного человека — «бочонка», по аналогии с формой деревянной посудины.

Менее вероятна, но возможна связь с глаголом «дринкать» (стучать, звенеть) — в таком случае прозвище могло относиться к кузнецу или музыканту. Однако эта версия слабее, так как «дринка» как название предмета быта встречается в этнографических источниках чаще, чем глагольная форма.

Фамилия Дринкина — довольно редкая. Встречается преимущественно в центральных областях России, особенно в бывших Рязанской и Тамбовской губерниях, где были распространены говоры с таким словом. Сословно фамилия крестьянская или мещанская: прозвища от названий утвари типичны для простонародья, а суффикс -ин закреплялся именно в этой среде.

Стоит обратить внимание на ударение. В фамилии Дринкина оно падает на первый слог — это отличает её от возможных однокоренных прозвищ, где ударение могло смещаться. В дореволюционных документах встречаются варианты написания через «е» — Дренкина, но это диалектное колебание, не меняющее сути.