Фамилия Дряничкин — редкая и неочевидная с первого взгляда. Её основа — не «дрянь» в современном бытовом смысле, а старое русское слово «дрянка» или «дрянь», которое в диалектах значило нечто иное: мелкий хворост, щепки, мусор, а также плохую, негодную вещь. Но в основе фамилии скорее лежит прозвище Дрянка, Дряня или Дряничка — так могли назвать человека не за «плохой характер», а, например, за худощавое телосложение, невзрачную внешность или за то, что он занимался сбором хвороста, мусора, был подёнщиком на грязной работе. В северных и сибирских говорах «дрянь» означала ещё и мелкую рыбёшку или сорную траву — отсюда тоже могло пойти прозвище.

Суффикс -ичк- (в форме Дряничка) — уменьшительно-ласкательный, а затем -ин превратил это прозвище в притяжательное прилагательное: «чей?» — Дряничкин, то есть сын, потомок Дрянички. Такая модель (основа на -а/-я + суффикс -ин) типична для русских фамилий, образованных от имён и прозвищ, оканчивающихся на гласный: Дряничка — Дряничкин, как Кузьма — Кузьмин, Фома — Фомин. Интересно, что в документах XVII–XVIII веков встречаются крестьяне и посадские с прозвищем Дрянка — например, в переписях Вологодского уезда. Это указывает на севернорусское или центральное происхождение фамилии.

Спорных версий немного. Иногда пытаются связать Дряничкина с тюркским корнем, но это натяжка: слово «дрянь» — исконно славянское, родственное «драть», «дёрн». Никакой иноязычной основы здесь нет. Фамилия не дворянская и не купеческая — её носители, судя по архивным данным XIX века, были крестьянами и мещанами в основном в Костромской, Вологодской и Вятской губерниях. Сегодня Дряничкины встречаются редко, в основном в центральной России и Поволжье.

Если коротко: ваш предок получил прозвище по внешности или занятию, связанному с чем-то мелким, невзрачным или сорным, а фамилию образовали по простой русской модели — от уменьшительной формы этого прозвища. Ничего уничижительного в этимологии нет, это бытовая наблюдательность наших предков.