Фамилия Дзерук — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В ней нет привычного русского суффикса -ов или -ин, что сразу указывает на иноязычную основу или на образование по модели, характерной для западных и южных славянских земель. Скорее всего, перед нами фамилия украинского или белорусского происхождения, где суффикс -ук (вариант -юк) широко распространён. Он образует фамилии от имён, прозвищ или названий профессий и означает «сын такого-то» или «потомок». То есть Дзерук — это «сын Дзера» или «потомок человека по прозвищу Дзер».

Корень «Дзер-» неочевиден. Самая правдоподобная версия связывает его с украинским или польским словом «дзер» или «дзир» — диалектным названием дятла. В этом случае прозвище Дзер могли дать человеку, который чем-то напоминал эту птицу: возможно, был непоседлив, любил стучать или имел пёструю внешность. В славянской ономастике прозвища от названий птиц — обычное дело (Соловей, Воробей, Сокол), и Дзерук вписывается в этот ряд, хоть и с менее распространённым исходником.

Есть и другая гипотеза, менее вероятная, но заслуживающая упоминания: в некоторых говорах «дзер» могло означать «след», «отметина» или относиться к глаголу «дзеркати» — смотреть, глядеть. Тогда прозвище Дзер могло получить зоркий человек или тот, кто «высматривал» что-то. Однако связь с дятлом выглядит надёжнее, поскольку такие «птичьи» фамилии встречаются чаще, и их семантика прозрачнее для народной этимологии.

Географически фамилия Дзерук тяготеет к западным областям Украины (Волынь, Полесье) и югу Беларуси. Там суффикс -ук — один из главных маркеров фамилий (ср. Ковальчук, Бондарчук). В России она встречается редко, и её носители, как правило, потомки переселенцев из этих регионов. Сословная принадлежность у таких фамилий обычно крестьянская: в XIX веке большинство Дзеруков были, вероятно, сельскими жителями, и их предки не принадлежали к дворянству.

Таким образом, фамилия Дзерук — это типичный пример восточнославянской патронимической модели, где за необычным корнем скрывается живое прозвище, данное по птице. Если у вас есть семейные предания, что предок был плотником или лесником, это может косвенно подтвердить «дятловую» версию: птица эта живёт в лесу и связана с деревом.