Фамилия Дзыгун звучит необычно для русского уха, и это не случайно: её корни уходят в украинскую или белорусскую языковую среду. В основе лежит глагол «дзигати» или «дзыгати» — кружиться, вертеться, издавать резкий звук. Отсюда и прозвище Дзыгун: так могли назвать непоседливого, вертлявого человека, либо того, кто работал с каким-то вращающимся инструментом — например, точильщика, работающего ножной педалью. В некоторых говорах «дзыга» — это юла, волчок, игрушка, что тоже указывает на подвижный, энергичный характер.

Словообразовательная модель проста: суффикс -ун типичен для украинских и белорусских фамилий, образованных от прозвищ по действию (сравните: Говорун, Скакун). Окончание нулевое, без патронимических суффиксов -ов или -ин, что характерно для западнорусских земель. Это прямое прозвище, которое закрепилось как фамилия без дополнительных изменений — частый случай в сёлах Украины, Беларуси и юга России.

Географически фамилия тяготеет к западу и юго-западу. Наибольшая концентрация носителей — в Черкасской, Винницкой и Хмельницкой областях Украины, а также в Гомельской области Беларуси. Встречается и в России, но реже, в основном среди переселенцев с Украины. В дореволюционных переписях Дзыгуны записаны преимущественно как крестьяне или мещане, без дворянских корней — прозвище было слишком бытовым, чтобы стать родоначальником знатного рода.

Встречается вариант написания Дзигун — с «и» вместо «ы». Это не ошибка, а отражение местного произношения: в украинском языке «и» может звучать ближе к русскому «ы», поэтому фамилия записывалась по-разному в зависимости от того, кто вёл документ. Оба варианта считаются одной фамилией, хотя в паспортах закрепился обычно тот, что указали при первой записи.