Фамилия Дзюга звучит не по-русски, и это первое, что бросается в глаза. Она лишена типичных славянских суффиксов -ов, -ин или -ский, которые превращают прозвище в наследственное имя. Перед нами застывшая форма прозвища, которая перешла в фамилию без изменений. Такое часто случалось на украинских и белорусских землях, где фамилии на -а, -о или -ук нередко обходились без дополнительных окончаний.

Корень слова — «дзюг». Самая вероятная версия ведет к украинскому диалектному глаголу «дзюгати» — бить, хлестать, стегать. В некоторых говорах «дзюга» — это прут, розга или кнут. Прозвище Дзюга могли дать человеку с резким, колким характером, который «жалил» словом, или же тому, кто работал с лозой, плёл корзины или часто хлестал лошадей в дороге. Другое, менее распространенное значение — «пьяница», от того же корня в смысле «хлестать» водку.

Встречается и версия о западном происхождении. В польском языке «dziuga» — это старый, поношенный сапог или башмак. Если предок был сапожником или носил обувь «с чужого плеча», прозвище могло закрепиться за ним в насмешку. Но эта гипотеза слабее: для прозвищ по обуви русские и украинские говоры обычно использовали «лапоть» или «чобот». Украинский «бить» — основа более живая и характерная для прозвищ.

Географически фамилия Дзюга плотнее всего сидит в западных областях Украины — на Волыни, в Ровенской и Львовской областях, а также в южных районах Беларуси. В России она встречается редко, чаще всего среди переселенцев с Украины. В XIX веке носители фамилии числились преимущественно крестьянами и мещанами, никаких дворянских родов с такой фамилией не известно.

По модели образования фамилия Дзюга близка к украинским Дзюба, Дзюбак или Дзюман — все они образованы от прозвищ без суффиксов. Если бы фамилия русифицировалась, она звучала бы как Дзюгин или Дзюгов, но этого не произошло, что и сохранило её узнаваемый, немного режущий слух облик.