Фамилия Элаева — женская форма от мужской фамилии Элаев. Она образована по самой распространённой в русском языке модели: через суффикс -ев, который присоединяли к основам, оканчивающимся на мягкий согласный или на -й. В данном случае основа — Элай.

Исходное имя или прозвище Элай — это, скорее всего, усечённая форма одного из крестильных имён. Чаще всего так могли называть Елисея (от древнееврейского «Элиша» — «Бог спасение»). В народной речи имя Елисей нередко сокращалось до Елис, Еля, а затем и до Элай, особенно в южнорусских говорах, где начальное «е» переходило в «э». Вторая версия — происхождение от имени Елеазар (библейское «Бог помог»), которое тоже давало форму Элай.

Менее вероятна, но возможна связь с тюркскими языками, где «элай» или «алай» могло означать «пёстрый», «рябой» или быть топонимическим прозвищем — по названию местности. Однако в таком случае фамилия скорее закрепилась бы в форме Элаев у народов Поволжья или Кавказа, а не в русской среде. Для русской фамилии Элаева версия с православным именем Елисей — основная.

Фамилия редкая. Судя по географическому распространению, её очаги находятся в центральных областях России, в зоне старых рязанских и тамбовских говоров, где как раз любили сокращать полные имена до односложных форм. Носители фамилии Элаева, вероятно, происходят из крестьянской или мещанской среды: в дворянских родах такие «простые» фамилии на -ев от усечённых имён почти не встречаются.

Если вы встретили фамилию Элаев (Элаева) в старых документах, стоит помнить, что в дореволюционных записях её могли писать через «ѣ» (Елаев) или с двойным «л» — Эллаев. Но современный вариант с одним «л» и буквой «Э» — самый устойчивый.