Фамилия Елбакидзе — грузинская по форме, но её основа, скорее всего, тюркского происхождения. Разбираем её не с суффикса, а с самого спорного элемента — корня «Елбак».

В основе фамилии лежит мужское имя или прозвище Елбак. По одной из версий, это вариант имени Албак, которое восходит к древнетюркским корням. Первая часть («ал») переводится как «обладающий огромной силой», вторая («бак») означает «вечный, постоянный» или «жить, пребывать». Буквально имя Албак можно перевести как «великая жизнь» — пожелание долголетия и могущества.

Есть и альтернативное объяснение. Слово «елбак» в тюркских языках имеет значение «широкий, плоский». В этом случае прозвище могло отражать особенности внешности предка — например, широкоплечего или приземистого человека. Однако «елбак» встречается и в топонимах (названиях мест), так что прозвище могло быть дано и по месту жительства: выходец из местности с таким названием.

Грузинский суффикс -дзе (встречается в форме -идзе после гласных) — один из самых распространённых в западной Грузии. Он означает «сын» и присоединялся к имени или прозвищу отца. То есть Елбакидзе — буквально «сын Елбака». Такая модель типична для грузинских фамилий, но необычна тем, что основа не имеет очевидных грузинских корней. Это указывает на возможные контакты рода с тюркоязычными народами или на то, что имя было заимствовано и адаптировано грузинской средой.

Фамилия редкая, её география практически полностью ограничена Грузией. В России и других странах бывшего СССР встречается единично, обычно в среде потомков грузинских эмигрантов.