Фамилия Елдырева — женская форма фамилии Елдырев. В основе её лежит прозвище Елдырь, которое, скорее всего, происходит от древнерусского слова «елдыга» — так в старину называли сварливого, бранчливого человека, склонного к ссорам и перебранкам. В словаре Даля зафиксировано слово «елдыга» именно в этом значении, а также глагол «елдыжить» — то есть браниться, ссориться, задираться. Таким образом, родоначальник Елдыревых мог получить своё прозвище за неуживчивый, вздорный нрав.

Модель образования фамилии типична для русского Севера и Поволжья. Суффикс -ев указывает на принадлежность: Елдырев — сын Елдыря. Обратите внимание на окончание -ев, а не -ов: это говорит о том, что основа прозвища оканчивалась на мягкий согласный или шипящий (в слове «елдырь» на -рь). Такое окончание чаще встречается в северных и центральных русских говорах.

Встречается и другая, менее вероятная версия. В некоторых диалектах «елдыгой» называли не только склочника, но и неповоротливого, медлительного человека. Трудно сказать, какое из двух значений было первичным для конкретного носителя прозвища, но ономастический словарь В. А. Никонова склоняется к версии со сварливым характером как к основной.

Стоит отметить, что фамилия довольно редкая. Она не попала в число распространённых дворянских или купеческих фамилий, а бытовала в основном в крестьянской и мещанской среде. Географически её можно встретить в Вологодской, Кировской областях и в Пермском крае — то есть в зоне бытования севернорусских говоров, где слово «елдыга» было в ходу. Встречаются варианты написания Елдырев и Елдырёв, но ударение в обоих случаях падает на второй слог: Елды́рев.