Фамилия Елдырев образована по стандартной русской модели с суффиксом -ев, который присоединяется к основе, оканчивающейся на мягкий согласный. В данном случае основа — Елдырь. Вопрос в том, что означало это прозвище. Здесь мы сталкиваемся с редким и неочевидным корнем, что и делает фамилию интересной для разбора.

Самая вероятная версия связывает Елдыря с тюркским словом «елдыр» (или «йылдыр»), которое в разных тюркских языках означает «молния» или «блеск». В русских говорах слово могло трансформироваться в прозвище для человека быстрого, резкого или вспыльчивого — по аналогии с ударом молнии. Эта гипотеза подкрепляется тем, что фамилия распространена в регионах, где исторически был силен тюркский субстрат: в Поволжье, на Урале, в Оренбуржье. Именно там встречается большинство носителей фамилии Елдырев.

Есть и менее убедительная версия — от диалектного глагола «елдырить» (суетиться, делать что-то небрежно, егозить). Однако этот глагол фиксируется в словарях русских народных говоров как редкий и локальный, в основном в вологодских и архангельских краях. География фамилии с этой версией расходится: Елдыревы почти не встречаются на Русском Севере. Поэтому версия с тюркским «молниеносным» корнем выглядит предпочтительнее.

По словообразовательной модели фамилия типична для непривилегированных сословий: прозвище + патронимический суффикс. Никаких дворянских гербов или громких исторических личностей за фамилией Елдырев не числится — это фамилия крестьянская или посадская, закрепившаяся за родом в XVI–XVII веках. В документах встречаются единичные упоминания: например, в переписных книгах Казанского уезда XVII века фигурирует крестьянин Елдырка (уменьшительное от Елдырь), что подтверждает бытование прозвища в тюрко-славянском пограничье.

Таким образом, фамилия Елдырев — скорее всего, осколок тюркского влияния на русскую ономастику, закрепившийся в виде прозвища за человеком с быстрым или резким нравом.