Фамилия Елдыков — один из тех случаев, когда прозвище-основа пережило тысячелетие, а суффикс указывает на географию. Разберём её по косточкам.

Корень «елдык» в русских говорах имеет два основных значения. Первое — «елдыга» или «елдык»: так в Поволжье и на Урале называли навязчивого, докучливого человека, попрошайку или того, кто постоянно пристаёт с разговорами. Второе, более редкое — «елдык» как вид кушанья, но для антропонимии это маловероятная основа. Скорее всего, прозвище Елдык получил человек с назойливым характером, и уже от него пошла фамилия.

Суффикс «-ов» (в форме Елдык-ов) — самый распространённый в русской фамильной модели, указывающий на принадлежность: «сын Елдыка» или «из рода Елдыка». Но интереснее другое: в этом же гнезде есть фамилия Елдыкин, образованная с суффиксом «-ин». Обычно «-ин» присоединяют к основам на -а/-я (Елдыка → Елдыкин), а «-ов» — к основам на согласный (Елдык → Елдыков). Наличие обеих форм говорит о том, что в разных говорах прозвище бытовало и как Елдык, и как Елдыка. Это не редкость для диалектной лексики.

Географически фамилия Елдыков привязана к северо-востоку европейской России: Архангельская, Вологодская, Кировская области, а также Удмуртия и Татарстан. Встречается она нечасто, что подтверждает её диалектное происхождение. В словарях русских фамилий (в том числе у Б. Унбегауна) она не упоминается, но фиксируется в региональных ономастических работах, например, в исследованиях фамилий Вятского края.

Сословный состав носителей типичен для северной недворянской фамилии: крестьяне, реже — купцы и мещане. В дворянских родословных книгах Елдыковы не отмечены. Если ваш предок носил эту фамилию, он, скорее всего, происходил из среды государственных или помещичьих крестьян Русского Севера или Приуралья. Прозвище могло закрепиться за одним человеком, а затем передаться потомкам, не имея отношения к характеру каждого из них.