Фамилия Елдышева — женская форма фамилии Елдышев, а та, в свою очередь, образовалась от прозвища Елдыш. В основе прозвища, скорее всего, лежит нарицательное «елтыш» — в пермских и сибирских говорах так называли чурбан или обрубок. Отсюда и первая версия: Елтышем могли прозвать дровосека, человека, занятого рубкой и колкой леса. Но у слова есть и переносное значение — недалёкий, глуповатый мужчина, «чурбан с глазами». Так могли обозвать тугодума или упрямца.

Вторая версия отсылает к глаголу «елдыжить», который в тех же говорах означал «вздорить, затевать ссоры, придираться». Если так, то Елдыш — это сварливый, неуживчивый и, возможно, корыстный человек, который вечно ищет повод для конфликта. Обе трактовки вполне правдоподобны и не противоречат друг другу: фамилия могла независимо возникнуть в разных семьях от разных значений одного корня.

С точки зрения словообразования фамилия типична для русского Севера и Сибири. Суффикс -ыш- (как в словах «глупыш» или «малыш») образует прозвища по характерному признаку, а фамильный суффикс -ев- (вместо более привычного -ов-) указывает на то, что исходная основа оканчивалась на шипящий или мягкий согласный: Елдыш → Елдышев.

Стоит обратить внимание на написание: в говорах форма «елтыш» пишется через Т, а в фамилии закрепилась буква Д — «Елдыш». Это не ошибка, а диалектное чередование, характерное для русских северных и уральских говоров (ср. «елдыга» — сварливый человек, от того же корня). Так что искать «правильное» написание через Т было бы неверно: исторически сложилась именно форма с Д.

Таким образом, предки Елдышевых — либо люди физического труда (дровосеки, лесорубы), либо обладатели крутого нрава, жившие на Урале, в Прикамье или Сибири. Фамилия редкая, с чёткой региональной привязкой и без притязаний на дворянское происхождение — это стопроцентно крестьянская или посадская фамилия, возникшая в народной среде не позднее XVII века.