Фамилия Еляхин — один из тех случаев, где русское окончание -ин скрывает нерусскую, скорее всего, еврейскую основу. Суффикс -ин в русских фамилиях обычно указывает на принадлежность: «чей?» — Еляхин значит «сын Еляхи» или «человек из дома Еляхи». Но если отбросить окончание, корень «Елях» в славянских именах не встречается. Здесь мы имеем дело с адаптацией библейского имени.

Самая вероятная версия: Еляхин — это русифицированная форма еврейского имени Элияху (Илья). В идише и в бытовой речи ашкеназских евреев это имя могло звучать как Эля, Элях или Елях. Фамилия образована по русской модели от прозвища или уменьшительной формы. В пользу этого говорит и география: фамилия Еляхин встречается в основном на территориях бывшей черты оседлости — в Беларуси, на Украине, в западных областях России. Сословно носители чаще всего были мещанами или купцами, реже — крестьянами.

Менее правдоподобная, но возможная версия — связь с тюркским именем Ильяс (арабский вариант библейского Илии). Однако суффикс -ин при тюркской основе редок: обычно такие фамилии оканчиваются на -ов (-ев). Поэтому версия с еврейским Элияху выглядит убедительнее.

Стоит обратить внимание на написание. Вариант «Еляхин» с буквой «ё» не встречается — это не «Ёляхин». Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Еля́хин. В дореволюционных документах фамилия могла писаться через «ять» или с двойной буквой, но единой нормы не было.

Однокоренных русских фамилий у Еляхина нет. Ближайшие по модели — Елин, Елисеев, но они восходят к другим именам. Если ваш предок носил фамилию Еляхин, он почти наверняка происходил из еврейской семьи, жившей в Российской империи, и его имя при переписи или в метрической книге записали «на русский лад» — по отцу или по деду.