Фамилия Ерёмнко — один из тех редких случаев, когда написание вводит в заблуждение. Если вы встретили такой вариант, скорее всего, перед вами или опечатка, или намеренное искажение фамилии Ерёменко. В русской ономастике суффикс -нк- нестандартен для фамилий на -ко: обычная модель — -енк- (украинский патронимический суффикс, обозначающий «маленький», «сын» или «потомок»). Поэтому единственная логичная основа здесь — имя Ерёма, народная форма канонического имени Иеремия (др.-евр. «возвышенный Богом» или «Бог возвысит»).

Фамилия Ерёменко (от которой, вероятно, произошёл вариант Ерёмнко) образована по продуктивной украинской модели: Ерёма + -енк- + -о. Это типичная фамилия-патроним: сын Ерёмы, потомок человека по имени Ерёма. В XVII–XVIII веках такие фамилии массово закреплялись за казаками и крестьянами Левобережной Украины и юга России. Если ваш предок носил фамилию Ерёмнко, а не Ерёменко, это может быть результатом местного говора (редукция гласного) или ошибки писаря.

Имя Ерёма в народной культуре было двусмысленным. С одной стороны, это уважаемое библейское имя. С другой — в русских пословицах и поговорках Ерёма часто выступает как незадачливый, простоватый персонаж («Всяк Ерёма про себя разумей», «У Ерёмы семь пятниц на неделе»). Это не значит, что носитель фамилии происходит от нерадивого человека: прозвища и имена часто давались «от противного» или просто по первому попавшемуся святому.

Географически фамилия Ерёменко (и её редкая форма Ерёмнко) распространена в основном на юге России, в Белгородской, Воронежской, Ростовской областях, а также на востоке Украины. Встречается и среди потомков запорожских казаков, переселявшихся на Кубань. Если ваш вариант именно Ерёмнко, это может быть локальной чертой — например, в некоторых говорах безударное «е» перед «н» редуцируется до слабого «ё» или вовсе выпадает в быстрой речи.

Социальный контекст: как и большинство фамилий на -енко, Ерёмнко не указывает на дворянское происхождение. Это фамилия крестьянская, казачья или мещанская. В документах XVIII–XIX веков так могли записать любого «Ерёмина сына» без привязки к сословию.