Фамилия Эшмеев — редкий случай, когда географический корень просматривается почти сразу. В основе лежит, скорее всего, топоним Эшме или Эшма. На карте России есть несколько рек с названием Эшма (в Коми, в Башкирии), а также населённые пункты вроде Эшме (в Татарстане). Жителя такой местности могли прозвать Эшмеем, а его потомки стали Эшмеевыми. Суффикс -ев указывает на русскую патронимическую модель: «чей?» — Эшмеев, то есть сын или потомок Эшмея.

Менее вероятна, но возможна версия от тюркского прозвища. В татарском и башкирском языках есть слово «эш» — работа, дело. «Эшме» могло означать «работящий», «деловой человек» или «мастер». Однако суффикс -ей в таком случае нехарактерен для тюркских имён, скорее это адаптация к русскому произношению. Поэтому топонимическая гипотеза выглядит убедительнее.

Словообразовательная модель проста: корень Эшм- (от названия реки или села) + суффикс -ей (образует прозвище или некалендарное имя) + фамильный суффикс -ев. Такая цепочка типична для фамилий, возникших в XVI–XVII веках на северо-востоке европейской России, где активно смешивались русские и финно-угорские, а позже и тюркские народы.

О сословной принадлежности носителей фамилии сказать ничего определённого нельзя — Эшмеевы могли быть как крестьянами, так и служилыми людьми, жившими по соседству с рекой или в одноимённой деревне. Фамилия не попала в известные боярские или дворянские родословные, что указывает на её народное, «географическое» происхождение.

Встречается фамилия преимущественно в Поволжье и Приуралье — в Татарстане, Башкортостане, Пермском крае. Это подтверждает связь с местными гидронимами и поселениями. Если ваши предки оттуда, то, скорее всего, фамилия закрепилась именно за счёт места жительства, а не за прозвище или род занятий.