Фамилия Евфименко — один из тех случаев, когда украинская модель образования фамилий накладывается на редкое церковное имя. Разберём её по косточкам.

Основа фамилии — каноническое имя Евфимий (в русской традиции чаще звучит как Ефим). В древнегреческом Euphemios означало «благочестивый», «благоговейный». Это имя давали при крещении, и именно от его полной формы — Евфим — образована фамилия. Суффикс -енко — типичный украинский патроним, указывающий на «сына» или «потомка». То есть Евфименко — буквально «сын Евфима». Такая модель была особенно распространена в Левобережной Украине, в казацкой среде XVII–XVIII веков.

Интересно, что фамилия сохранила начальное «Ев», которое в бытовой речи часто отпадало. Сравните с массовыми русскими фамилиями Ефимов, Ефименков — там корень уже усечённый. А вот Евфименко — архаичный, более полный вариант, что говорит о том, что предок носителя был крещён именно как Евфимий, а не сокращённо Ефим. В метрических книгах XIX века такая полная форма имени встречалась реже, поэтому фамилия осталась сравнительно немногочисленной.

По сословному происхождению носители Евфименко, скорее всего, были из крестьян или казаков. Фамилии на -енко в малороссийских губерниях несли именно эти сословия; дворянство предпочитало окончания -ов или -ский. Географически фамилия тяготеет к Полтавщине, Черниговщине и Харьковщине — это подтверждается данными переписей конца XIX века.

В написании возможны варианты: Евфименко и Евфименко (с ударением на второй или третий слог). В русском языке фамилия не склоняется, если принадлежит женщине, и склоняется по падежам, если мужчине. В украинском — склоняется в обоих случаях.

Если коротко: Евфименко — это «сын благочестивого», фамилия, которая донесла до нас полную, книжную форму редкого крестильного имени, не стёртую бытовым произношением.