Фамилия Фарненкова — редкий случай, когда корень слова почти наверняка не славянского происхождения. В отличие от подавляющего большинства русских фамилий, образованных от прозвищ или имён (Иванов, Кузнецов), основа «Фарнен-» не имеет очевидной семантики в русском языке. Скорее всего, перед нами фамилия, возникшая на стыке культур, и её разбор требует обращения к географии и истории.

Наиболее вероятная версия связывает фамилию с немецкой или голландской фамилией Farnen или Varnen. В немецком языке слово «Farn» означает «папоротник», а суффикс «-en» может указывать на принадлежность или происхождение. То есть исходная фамилия могла означать «папоротниковый» или «живущий у папоротников». В России такие фамилии часто появлялись у обрусевших немцев, приглашённых на службу или поселившихся в Поволжье, или у голландских специалистов, работавших при Петре I. Женская форма Фарненкова — это либо жена, либо дочь человека с фамилией Фарненков.

Мужской вариант Фарненков, скорее всего, образован по стандартной русской модели: к иноязычной основе добавили русский суффикс «-ов», указывающий на принадлежность («чей?»). Таким образом, Фарненков — это «сын или потомок Фарнена». Суффикс «-к-» в женской форме (Фарненкова) — обычный русский показатель женского рода, без дополнительного смысла. Если бы фамилия была образована напрямую от прозвища (например, от слова «фарный» в значении «хвастун»), мы бы видели форму Фарнов или Фарнин, но не Фарнен.

Географически фамилия встречается крайне редко, в основном в центральной России и на Урале, что косвенно подтверждает версию о переселенцах. В дореволюционных метрических книгах можно найти единичные записи, например, в Санкт-Петербургской губернии, где традиционно селились иностранцы. Других версий, объясняющих корень через славянские языки (например, от «фарный» — «нарядный» или «фарт» — «удача»), не существует — они либо искусственны, либо не подтверждаются словообразовательной моделью.

Таким образом, носитель фамилии Фарненкова, скорее всего, потомок выходца из немецкоязычных земель, который обосновался в России в XVII–XIX веках. Фамилия не успела широко распространиться и сохранила свою редкую, почти уникальную форму.