Фамилия Фай — редкий случай, когда при очень короткой основе открывается сразу несколько исторических пластов. Коротко говоря, в подавляющем большинстве случаев она связана с торговлей дорогой тканью, и лишь изредка — с тюркским налоговым термином.

Слово «фай» в восточнославянских языках — это плотная тонкая одноцветная ткань из шелка или шерсти с характерными поперечными рубчиками. Такой материал был дорогим и шёл на парадную одежду, поэтому и прозвище Фай, скорее всего, закрепилось за человеком, который эту ткань ткал, красил или, что вероятнее всего, торговал ею. В старину прозвища по товару, с которым человек работал, были обычным делом: так появлялись Кузнецовы, Скорняковы и, как в этом случае, Фаи. Фамилия закрепилась в форме, типичной для украинских и южнорусских земель, где прозвища без дополнительных суффиксов переходили в фамилии напрямую.

Менее правдоподобная, но всё же существующая версия ведёт фамилию к тюркскому слову «фай». В мусульманском праве так называли всё имущество и налоги, которые получали от иноверцев. Если следовать этой гипотезе, основатель рода Фай мог быть сборщиком податей. Однако против неё говорит то, что в тюркских языках слово имеет узкое, специальное значение, и в качестве личного прозвища оно встречается крайне редко. Куда естественнее, что человека на базаре называли по товару, который он продавал, чем по его налоговой должности.

Интересно, что при всей своей редкости фамилия звучит одинаково в разных языках, но не стоит путать её с немецкой или еврейской фамилией Фай, которые восходят к другим корням. В русском контексте, если ваши предки жили на юге России или в Украине, почти наверняка они были связаны с текстильным делом.