Фамилия Федяинова образована от мужского крестильного имени Феодор, которое в переводе с древнегреческого означает «Божий дар». От этого имени в русском языке возникло множество уменьшительных и обиходных форм, и одна из них — Федяй — легла в основу фамилии. Фактически Федяинова — это отчество второго порядка: сначала от имени Федяй появилось отчество Федяин (сын Федяя), а уже от него, по модели «чей сын?», закрепилась фамилия Федяинов. То есть носитель фамилии — потомок человека по имени Федяй, внук или правнук.

Сам суффикс -ин в фамилии указывает на принадлежность: Федяинов буквально значит «сын Федяина». Такая модель типична для русских фамилий, сложившихся в среде простого сословия, где отчество от обиходной формы имени было естественным способом идентификации. Скорее всего, основатель рода не принадлежал к знати: в дворянской среде чаще закреплялись полные формы имени, а вот крестьянские и посадские семьи нередко брали в основу фамилии именно разговорные варианты вроде Федяй.

Форма Федяй — характерный пример народной переработки канонического имени. Подобные усечённые имена с суффиксом -яй встречались и у других имён, например Матвей — Матяй, Андрей — Андряй. В случае с Федором такая форма звучала естественно и быстро прижилась в обиходе. Интересно, что фамилия Федяинов сохранила в себе именно этот редкий вариант, тогда как более распространённые Федоров, Федин или Федькин отражают другие производные формы того же имени.

Географически фамилия встречается преимущественно в центральных и поволжских регионах России, что согласуется с ареалом распространения имени Федор и его производных. Точных сведений о первом носителе фамилии нет, но сам тип образования позволяет уверенно говорить о её происхождении: это не прозвище по ремеслу или черте характера, а чисто именная фамилия, возникшая из отчества. Поэтому ответ на главный вопрос прост: Федяинова означает «внучка (или потомок) Федяя», а сам Федяй — это просто ласковое или обиходное обращение к человеку по имени Федор.