Фамилия Фешков — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не профессия, а усечённая форма личного имени, причём с неочевидным суффиксом. Если сразу смотреть на окончание -ов, то всё просто: это типичная русская патронимическая модель, означающая «чей?» — сын, потомок человека по имени Фешко. Но вот само имя Фешко — штука нестандартная.

Скорее всего, Фешко — это обиходная, разговорная форма от канонического имени Феофан (греч. Theophanes — «богоявление») или, реже, от Феодор (Фёдор). В русской народной среде длинные церковные имена часто урезали до одного-двух слогов: Феофан превращался в Фешку, а Феодор — в Фешу. Суффикс -к- в таких формах (Феш-к-а) был уменьшительным, но не обязательно ласкательным — в XVI–XVII веках так могли называть взрослого крестьянина или посадского, и это становилось его постоянным прозвищем.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с диалектным глаголом «фешить» (в некоторых говорах — «суетиться, делать что-то небрежно»). Однако такая гипотеза слабая: фамилии от глаголов с суффиксом -ов образуются редко, и для этого должно было существовать прозвище Феш (а не Фешко). Поэтому версия с именем Феофан/Фёдор намного правдоподобнее.

Фамилия Фешков — нечастотная. Встречается в основном в центральных и северных областях России, что характерно для фамилий, образованных от народных форм имён, которые в XVIII–XIX веках уже вышли из употребления в официальной записи. Носители фамилии, скорее всего, происходят из крестьянской или мещанской среды: в дворянских родословных такая фамилия почти не фиксируется. Ударение в ней падает на первый слог: Фе́шков.

Если сравнивать с однокоренными, то ближе всего фамилия Фешков стоит к Феофанову (от полной формы) и Фешину (от другой усечённой основы). Но Фешков отличается именно суффиксом -к- в середине — это указывает на то, что предка в быту звали не просто Феша, а именно Фешко, с характерным для северных и среднерусских говоров окончанием -о.