Фамилия Флринская — редкий случай в русской ономастике, и её разбор начинается не с корня, а с вопроса: а есть ли у неё вообще славянская основа? Первое, что бросается в глаза, — сочетание «Флр» в начале. Для русского языка это нетипично: исконные слова с таким стечением согласных почти не встречаются. Вероятнее всего, перед нами фамилия, образованная от топонима — названия населённого пункта. В России и сопредельных землях существовали (или существуют) селения с корнем «Флёр» или «Флор», которые в местных говорах могли редуцироваться до «Флр». Например, название могло звучать как Флёры, Флорово, а в некоторых диалектах безударное «о» после «л» выпадало, давая форму «Флр-». Суффикс «-инск-» в фамилии — типичный для «географических» фамилий, которые давали дворянам по названию их поместья или выходцам из определённой местности. Сравните: Трубецкой (от Трубеж), Вяземский (от Вязьма), Шереметевский. Флринская, скорее всего, указывала на связь с местом под названием Флрино, Флринск или что-то похожее.

Если же отбросить топонимическую версию, остаётся гипотеза о книжном или церковном происхождении. Корень «Флор» восходит к латинскому flos — «цветок». В святцах есть имя Флор (в паре с Лавром), и от него в народе образовывали фамилии Флоров, Флоринский. Форма «Флринская» могла возникнуть из «Флоринская» в результате упрощения — выпадения гласной в безударном положении (так называемая гаплология). Но это менее вероятно: при записи фамилии в документах церковнослужители обычно старались сохранить «о» как знак книжности. Скорее, мы имеем дело с опиской или местным произношением, которое закрепилось в паспорте.

Ещё один возможный след — польское или белорусское влияние. В польском языке есть фамилии типа Floryński, Floryńska, где «ó» читается как «у», а на письме могло передаваться через «р» без гласной. Если носитель фамилии из западных регионов бывшей Российской империи, то «Флринская» — это русифицированная запись польской Floryńska, где «y» исчезло при переносе в русскую графику.

Что касается социального статуса: фамилии на «-ский/-ская» в XIX веке чаще носили дворяне, духовенство и выходцы из мещан, получившие образование. Если фамилия действительно топонимическая, предки могли быть владельцами усадьбы или переселенцами из конкретного села. Если же это искажённое «Флоринская», то предки — скорее всего, дети священника или дьячка, которых в семинариях наделяли «цветочными» фамилиями по латинским корням. Точных сведений о распространении фамилии Флринская в исторических источниках мало — она встречается единично, и каждый случай требует отдельного генеалогического поиска.