Фамилия Гагилев по своему происхождению — типичная «отпрозвищная» фамилия, образованная через суффикс -ев. Этот суффикс в русской традиции указывал на принадлежность: Гагилев буквально означает «сын (или потомок) Гагиля». Основной вопрос — что скрывалось за прозвищем Гагиль.

Самая обоснованная версия отсылает к украинскому слову «гагилки» — так называют весенние обрядовые песни (близкие к хороводным). Если человек в округе славился любовью к этим песням, умел их петь или заводить, его могли прозвать Гагилем. Такая модель образования прозвищ от названий песен, плясок или обрядов встречается в восточнославянской антропонимии, хоть и нечасто. В пользу этой версии говорит и то, что суффикс -ев чаще присоединялся к основам, оканчивающимся на мягкий согласный (Гагиль → Гагилев), что хорошо ложится на украинский источник.

Вторая гипотеза — арабская. Имя Гагиля (вариант Агиля) действительно существует в мусульманских культурах и переводится как «умница, примиряющая». Но здесь возникает несколько натяжек. Во-первых, фамилия Гагилев с суффиксом -ев — типично русская или русифицированная форма, а не тюркская или кавказская (там были бы варианты на -ов или -оглы). Во-вторых, имя Гагиля женское, а прозвище Гагиль, от которого пошла фамилия, явно мужское. Поэтому арабская версия выглядит менее правдоподобной: она могла бы объяснить редкое имя, но не объясняет, как оно превратилось в русскую фамилию с патронимическим суффиксом.

Фамилия редкая, в старых боярских списках и переписях XVII века не встречается. Скорее всего, она возникла в среде крестьян или однодворцев южнорусских губерний — там, где украинское влияние было сильным (Курская, Воронежская, Белгородская области). Если ваши предки оттуда, то версия с «гагилками» становится почти очевидной: в тех краях обрядовые песни были частью повседневной жизни, и прозвище могло закрепиться за певуном или заводилой на гуляньях.