Фамилия Галаи — одна из тех, где спорить о происхождении почти не приходится: всё упирается в язык, на котором её произнесли впервые. Самая вероятная версия — венгерская. В Венгрии Galai (или Gálai) — это фамилия, образованная от названия населённого пункта Гала (Gála) с помощью суффикса -i, указывающего на принадлежность к местности. Иными словами, Галаи — «тот, кто из Галы». Таких топонимических фамилий в венгроязычной среде тысячи, и суффикс -i в них работает так же, как русское -ский в фамилиях вроде Тверской. Носитель фамилии мог быть выходцем из села или городка Гала на территории современной Венгрии, Словакии или Закарпатья — регионов, где веками жили венгры.

Вторая версия, менее распространённая, но тоже имеющая право на существование, — греческая. В греческом языке Γαλάης (Гала́ис) или Γαλαίος (Гала́йос) может восходить к слову γαλήνη («гали́ни») — «штиль», «спокойствие». Прозвище Галай могли дать человеку с тихим, уравновешенным нравом. Однако эта гипотеза слабее: греческая фамилия с таким окончанием в русском языке скорее превратилась бы в Галайдис или Галайопулос, а форма Галаи характерна именно для венгерской модели словообразования.

В русском контексте фамилия Галаи — редкая. Она не вписывается в типичные славянские модели на -ов, -ин или -ский. Её носители в России и на Украине — это, как правило, потомки венгерских или словацких переселенцев, либо люди, чьи предки попали в русские земли из Австро-Венгрии. Встречается она и в среде русин — восточнославянской этнической группы Закарпатья, где венгерские фамилии не редкость из-за долгого нахождения региона в составе Венгерского королевства.

Интересная деталь: в венгерском языке фамилия произносится с ударением на первый слог — Га́лаи, а в русской традиции ударение часто смещается на последний — Галаи́. Это обычная история для заимствованных фамилий: язык адаптирует чужую ритмику под свои привычки.

Если коротко: фамилия Галаи с высокой вероятностью говорит о том, что ваш предок жил в местечке с названием Гала или был оттуда родом. Это не прозвище по профессии и не отчество, а географическая метка, которая закрепилась за семьёй.