Фамилия Гандошкин — редкий случай, когда в основе лежит не имя, не профессия и не географическое название, а, скорее всего, звукоподражание или прозвище, связанное с диалектным глаголом. Разберём её по косточкам без лишней воды.

Самая вероятная версия отсылает к русскому диалектному слову «гандошить» — то есть делать что-то небрежно, кое-как, суетиться без толку или, по другим говорам, громко и беспорядочно стучать, бренчать. Человека, который всё делал тяп-ляп или постоянно гремел посудой, могли прозвать Гандошкой. Фамилия образовалась по стандартной модели: прозвище на -а/-я (Гандошка) плюс притяжательный суффикс -ин, означающий «чей?» — «сын Гандошки». Суффикс -ин характерен для фамилий, образованных от слов женского рода или от прозвищ с окончанием -а/-я, так что Гандошкин стоит в одном ряду с Федькиным или Васькиным, только основа не крестильная, а прозвищная.

Вторая, менее убедительная версия, связывает фамилию с тюркским корнем «ганды» (кровь, кровавый) или «канды» (где, какой). Но для фамилий на -ин в центральной России тюркская основа без промежуточного русского прозвища маловероятна: напрямую из татарского «кан» (кровь) с русским суффиксом -ошк- и -ин не складывается ни по смыслу, ни по словообразованию. Скорее всего, это народная этимология, не подтверждённая реальной историей бытования.

Географически фамилия тяготеет к центральным и южнорусским областям, где диалект «гандошить» был в ходу. Встречается она нечасто, что тоже косвенно подтверждает прозвищное, а не массовое происхождение: такие фамилии закреплялись за одной семьёй и редко расходились широко. В дореволюционных переписях носители Гандошкины — почти всегда крестьяне или мещане, без дворянских корней.

Кстати, написание с буквой «о» в первом слоге устойчиво, хотя по правилам русской орфографии хочется написать «Гондошкин» (от «гонд» — устар. «плохой»). Но язык сохранил именно «а», что лишний раз указывает на живую диалектную основу, а не на книжное слово. Если ваш предок был Гандошкиным, он, скорее всего, получил прозвище за манеру работы — неспешную, шумную или неаккуратную, но точно запоминающуюся.