Фамилия Гапейкин — редкая, и её разбор сразу упирается в вопрос: от какого имени или прозвища пошла основа? Самое прямое объяснение лежит в разговорной форме крестильного имени Агапий (от греческого агапэ — «любовь»). В русской народной речи начальное «А» нередко отпадало, а «г» перед гласной могло озвончиться или, наоборот, появиться как протетический звук. Так Агапка превращался в Гапку, а затем — в Гапейку. Модель образования типична для восточнорусских фамилий: суффикс -ейк- указывает на уменьшительно-ласкательную или уничижительную форму (сравните: Зайка → Зайкин, Ванька → Ванейкин). Получаем: Гапейка → сын Гапейки → Гапейкины.

Менее вероятная, но не исключённая версия — связь с диалектным словом «гапать» (кричать, зевать, хватать ртом воздух) или «гап» (звукоподражание удару, хлопку). В этом случае прозвище Гапейка мог получить человек суетливый, крикливый или, наоборот, тот, кто делал всё резко, «гапом». Однако для звукоподражательных основ суффикс -ейк- нетипичен — они чаще дают формы на -ушк-, -к- (Гапка, Гапушка), поэтому версия с именем Агапий выглядит надёжнее.

Географически фамилия редкая и нигде не образует плотных гнёзд. Единичные случаи фиксации встречаются в Поволжье и на юге России — в тех областях, где акающие говоры и редукция безударных гласных могли превратить «Агапейка» в «Гапейку». В дореволюционных переписях фамилия почти не попадается, что указывает на позднее оформление — скорее всего, в XIX веке, когда крестьяне получали фамилии по имени отца или деда. Сословно Гапейкины, вероятнее всего, были крестьянами или однодворцами, а не дворянами: фамилии на -ейкин редко встречаются в родословных книгах.

Важный нюанс: фамилию легко спутать с польской Гапейко (от белорусского «гапка» — головной убор) или украинской Гапей, но русский суффикс -ин не оставляет сомнений в происхождении — это именно «сын Гапейки», а не прозвище в чистом виде. Если ваш предок носил эту фамилию, ищите корни в среде, где имя Агапий было в ходу — у староверов или в крестьянских семьях, державшихся старых святцев.