Фамилия Гайдышар — редкий случай, когда основа не поддаётся однозначному славянскому прочтению. Первое, что бросается в глаза: в ней нет привычных русских суффиксов -ов, -ин или -ский. Это значит, что фамилия либо застыла в виде прозвища, либо пришла из другого языка и была записана на слух.

Скорее всего, корень — тюркский. В тюркских языках «гайды» (или «хайды») — повелительная форма глагола «идти», «погонять», «отправляться». Вторая часть, «шар», может восходить к «шар» — «город» (в арабо-персидском влиянии) либо к тюркскому «шар» — «шар», «круг», «мяч». Если соединить, получится прозвище вроде «иди в город» или «гоняй шар». Но более правдоподобна версия, что перед нами искажённое арабское имя или титул. Например, «Гайдышар» могло возникнуть из «Гайд ар-Шар» — «путеводитель (или вождь) востока» (где «шарк» — восток). При переходе через тюркские диалекты «шарк» легко превратилось в «шар».

Вторая версия, менее экзотичная, но тоже возможная: фамилия образована от прозвища Гайдышар, данного человеку, который постоянно подгонял лошадей возгласом «гайды!» или работал погонщиком. Суффикс -ар в таком случае выполняет роль указания на деятеля (как в словах «гребарь», «писарь»), но в русском языке он нестандартен для фамилий.

Географически фамилия тяготеет к южнорусским и украинским областям, а также к регионам, где исторически было сильное тюркское влияние — Поволжье, Кубань, Крым. Встречается она крайне редко, что подтверждает её позднюю фиксацию и, возможно, единичное происхождение от конкретного переселенца или беженца.

Словообразовательная модель здесь нестандартная: фамилия не склоняется по падежам как типичная русская (Гайдышар, Гайдышару), что также указывает на её иноязычную природу. Вероятнее всего, предок носителя получил это прозвище на границе культур — там, где тюркская речь смешивалась со славянской, и запись закрепилась в документах без изменений.