Фамилия Гайдышева — это женская форма, а её основа — мужская фамилия Гайдышев, образованная от прозвища Гайдыш. Разберём, что могло стоять за этим прозвищем и почему версии такие разные.

Самая прямая версия отталкивается от слова «гайда» в значении «быстро, живо, прочь» — то есть окрика, понукания. В русских говорах «гайда» и «гайду» означало призыв к движению. Отсюда прозвище Гайдыш могли дать человеку непоседливому, энергичному, тому, кто всё время кого-то торопил или сам был в движении. Это простое и бытовое объяснение, и оно кажется наиболее вероятным: такие прозвища по поведению давали часто.

Другая версия уводит в историю землевладения. «Гайда» — это единица земельной площади в средневековой Англии (примерно 120 акров). Версия экзотическая: чтобы крестьянин из русского села получил прозвище по английской мере земли, нужно допустить либо очень редкое стечение обстоятельств, либо книжное происхождение фамилии, что маловероятно для простонародной модели на -ов/-ев. Эта гипотеза скорее из разряда курьёзных, чем реальных.

Третья версия связывает прозвище с музыкальным инструментом — гайдой (волынкой). У южных и западных славян «гайда» действительно означает волынку, а «гайдар» — волынщика. Если предок играл на таком инструменте или, возможно, делал их, прозвище Гайдыш было бы уместным. Однако для центральной России, где фамилия встречается, волынка не была традиционным инструментом, поэтому эта версия слабее первой, но не исключена полностью: музыканты и бродячие артисты ходили повсюду.

Обратите внимание на суффикс -ыш в основе. В русской антропонимике суффикс -ыш часто придаёт прозвищу оттенок ласкательности, уменьшительности или принадлежности (ср. Малыш, Глупыш, Крепыш). То есть Гайдыш — это не просто «Гайда», а скорее «маленький Гайда» или «сын Гайды». Это указывает на то, что прозвище могло быть не прямым, а производным от более старого имени или прозвища Гайда.

Сама фамилия строится по стандартной русской патронимической модели: к основе Гайдыш добавляется суффикс -ев (фонетический вариант -ов после мягкого согласного). Получается «Гайдышев» — буквально «сын Гайдыша». Фамилия фиксируется преимущественно в центральных и южных регионах России, что согласуется с первой, «поведенческой» версией происхождения.

Из трёх гипотез самая правдоподобная — первая, от окрика «гайда». Она объясняет фамилию через живую народную речь, а не через заимствованные термины. Версия с волынкой возможна, но менее поддержана русским контекстом. Версия с английским наделом — красивая, но исторически неправдоподобна для данной фамилии.