Фамилия Гайва — редкий случай, когда основа не укладывается в привычные славянские модели на -ов/-ев или -ин. Скорее всего, перед нами прозвище, застывшее без суффикса, что само по себе нетипично для русской фамильной системы. В русском языке такое окончание чаще встречается у фамилий украинского или белорусского происхождения, где «чистая» основа могла остаться без притяжательного суффикса. Но география бытования подсказывает иной путь: фамилия Гайва встречается в Пермском крае и на Урале, а это регионы, где сильно влияние коми-пермяцкого и удмуртского языков.

Вероятнее всего, Гайва — это топонимическая фамилия, образованная от названия реки Гайва. Река с таким именем протекает в Пермском крае, впадает в Каму. Название, в свою очередь, восходит к коми-пермяцким корням: «гай» может означать «берег» или «край», а «ва» — «вода», «река». То есть Гайва — «река у берега» или «прибрежная река». Человек, живший на этой реке или переселившийся с её берегов, мог получить прозвище или фамилию по месту жительства. В документах XVII–XVIII веков, когда шло активное освоение Прикамья, такие «речные» фамилии были обычным делом: переселенцам давали имя по реке, из бассейна которой они пришли.

Менее убедительна версия о связи с тюркскими языками, где «гай» или «гайва» может означать нечто вроде «упрямый», «непослушный». Она слаба, потому что в тюркских фамилиях редко встречается такое огласовка, и нет массовых следов тюркского населения именно с такой фамилией на Урале. Финно-угорский след в данном случае выглядит и логичнее, и подтверждается географией.

Интересная деталь: фамилия Гайва почти не встречается за пределами Пермского края и соседних областей. Это типичная «локальная» фамилия, которая не разошлась широко по стране. Её носители — потомки, скорее всего, государственных крестьян или горнозаводских работников, которые жили в бассейне Камы. Если вы встретили Гайву за Уралом или в центральной России, с большой вероятностью его предки уехали из Прикамья в XIX–XX веках.