Фамилия Гайваронский — это не самостоятельное образование, а фонетический вариант более распространённой фамилии Гайворонский. Разница в написании («а» вместо «о» во втором слоге) могла возникнуть из-за местных говоров или ошибки писаря при записи: в безударной позиции обе гласные звучат одинаково, поэтому на слух «Гайворон» и «Гайварон» неразличимы. Так что, по сути, это одна и та же фамилия, и её происхождение напрямую связано с украинским городом Гайворон.

Город Гайворон стоит на берегу Южного Буга в Кировоградской области Украины. Основали его в XVIII веке как зимовье для казаков. Название города — составное: первая часть «гай» означает по-славянски «роща» или «небольшой лес», а вторая — «ворон», чёрная птица. Вместе получается «воронья роща». Вероятно, так назвали урочище, где водилось много воронов, а затем это имя перешло на речку и на само поселение. Топоним этот древний и встречается на картах ещё тех земель, где жило славянское племя полян.

Фамилию давали человеку, который был родом из Гайворона или жил в окрестностях. Суффикс -ский указывает на принадлежность к месту или территории — типичная модель для польской и украинской шляхты. Именно поэтому Гайворонские — известный дворянский род. Его родоначальник, Степан Гайворонский, служил сотником в первом компанейском (то есть конном) полку ещё при императрице Елизавете Петровне. Позже род внесли во вторую часть дворянской родословной книги Полтавской губернии, что давало право на потомственное дворянство. Так что, если ваши предки носили эту фамилию, они вполне могли быть из казацкой старшины или мелкопоместных дворян.