Фамилия Гераситменко — редкий и интересный случай, где написание почти наверняка искажено. Скорее всего, перед нами не самостоятельная фамилия, а вариант (или опечатка) фамилии Герасименко, хорошо известной на востоке Украины и юге России. Буква «т» в середине слова — явная аномалия: в украинской и русской ономастике нет суффикса -итмен- или -тмен-. Поэтому первое, что нужно проверить носителю фамилии, — не значится ли она в документах как Герасименко. Если же написание Гераситменко закрепилось официально, это может быть следствием ошибки писаря или диалектного произношения (например, «Гераситменко» возникло из «Герасименко» под влиянием местного говора, где «с» перед «т» звучит тверже).

Если отбросить вероятную опечатку, основа фамилии восходит к каноническому имени Герасим (греч. «уважаемый», «почтенный»). В украинской традиции от него образовали множество фамилий через суффикс -енко, который указывает на «сына» или «потомка»: Герасименко — «сын Герасима». Модель с -енко была особенно популярна в Запорожской Сечи и на Левобережной Украине в XVI–XVII веках, где такие фамилии закреплялись за казаками и крестьянами. Таким образом, предок носителя фамилии (в её исходном виде) был человеком по имени Герасим или его прямым потомком.

Географически фамилия Герасименко (и её возможные варианты) чаще всего встречается в Полтавской, Черниговской, Сумской областях Украины, а также в соседних регионах России — Белгородской, Курской, Воронежской областях. Если ваш вариант — именно Гераситменко, стоит поискать его в метрических книгах или ревизских сказках XIX века: там могли записать фамилию на слух, и писарь, не расслышав, вставил лишнюю согласную. В любом случае, корень у фамилии один — от имени Герасим, а «т» — скорее всего, случайный артефакт записи, а не осмысленный элемент словообразования.