Фамилия Гиверская — редкий случай, когда географическая основа почти наверняка перевешивает прозвищную. Скорее всего, перед нами типичная «фамилия-топоним», образованная от названия населённого пункта с помощью суффикса -ск-, указывающего на принадлежность или происхождение. В таком случае предок носителя фамилии был либо помещиком, владевшим селом Гиверы (или Гиверово), либо выходцем оттуда — крестьянином или мещанином, который, переехав, получил прозвание по месту рождения.

Ключевой вопрос — где искать это село. Само слово «Гивер» не имеет славянских корней и не встречается в русских говорах как нарицательное. Это наводит на мысль о западном, скорее всего, польском или литовском происхождении топонима. В польском языке есть слово «giwera» (устаревшее, из немецкого Gewehr — ружьё, винтовка), но связь фамилии с ним маловероятна: прозвище «Ружьё» могло бы дать фамилию Гиверов, но не Гиверский. Куда логичнее предположить, что название села восходит к балтскому или древнепрусскому корню, например, к литовскому «gyventi» (жить) или «gyvas» (живой). В таком случае Гиверы — это «жилое место», «поселение».

В Российской империи фамилии на -ский/-цкий в XIX веке чаще всего фиксировались у дворянства, духовенства и выходцев из Западного края (Белоруссии, Литвы, Польши). Если Гиверская — дворянская, она могла возникнуть по названию родового имения. Если крестьянская или мещанская — то в результате канцелярского переименования при переписи, когда человека записывали по деревне, откуда он родом.

Встречается ли фамилия сегодня? Судя по редкости, её носители — потомки небольшой локальной группы. Поиск по картам может выявить урочище или хутор с похожим названием в западных областях России или в Беларуси. Ударение, скорее всего, падает на второй слог — Гиве́рская, что типично для фамилий, образованных от топонимов с суффиксом -ск-.