Фамилия Горинкин образована по редкой для русских фамилий модели — от прозвища или имени через суффикс -кин. Суффикс -ин указывает на принадлежность («чей?»), а конечное -к- перед ним (как в Горин-к-ин) — это уменьшительный или уничижительный суффикс, характерный для прозвищ. То есть в основе лежит не прямое имя Горя, а его производная форма — Горинка, Горинька.

Самая вероятная основа — слово «горе» или производное от него. В русских говорах «гори́нка» могло означать человека, который постоянно горюет, жалуется на судьбу, или же того, кто вызывает жалость. Возможна и связь с диалектным «гора» — так могли прозвать жителя возвышенности, но в таком случае суффикс -к- перед -ин скорее дал бы фамилию Горкин, а не Горинкин. Поэтому версия с «горем» убедительнее.

Встречается и альтернативное объяснение: от канонического имени Георгий через его просторечную форму Горя (ср. Горяев, Горин). Но Горинкин — это не просто «сын Гори», а «сын маленького Гори» или «сын того, кого звали Горинкой». Такая двухступенчатая модель образования (прозвище → отчество → фамилия) встречается реже, чем прямая, и говорит о том, что предок носителя фамилии был человеком незнатным, из крестьян или мещан, где прозвища передавались в уменьшительной форме.

Географически фамилия Горинкин тяготеет к центральным и северным областям России — Вологодской, Костромской, Ярославской, где были сильны традиции «окающих» говоров и где суффикс -к- в прозвищах встречался чаще, чем на юге. В документах XIX века встречаются единичные упоминания Горинкиных среди государственных крестьян и мещан, но фамилия никогда не была массовой.

Сравните с однокоренными фамилиями: Горин (прямое отчество от Горя), Горюнов (от «горевать»), Горемыкин (от прозвища Горемыка). Горинкин стоит особняком — он сохранил ту самую уменьшительную форму, которая в других фамилиях чаще утрачивалась.