Фамилия «Иьрагимов» — одна из тех, где ошибка в написании становится ключом к разгадке. В русском языке нет корня «иьраг», а сама фамилия явно восходит к распространённой мусульманской фамилии Ибрагимов. Скорее всего, перед нами либо опечатка в документе (паспорте, метрике), либо устойчивый диалектный или канцелярский вариант, где мягкий знак возник под влиянием произношения (в тюркских языках «Ибрагим» часто звучит с мягким «р»). В любом случае, этимологическое ядро здесь то же, что и у фамилии Ибрагимов.

Основа фамилии — личное имя Ибрагим, арабская форма имени пророка Авраама (Ибрахим). В исламской традиции это одно из почитаемых имён, означающее «отец народов» или «друг Бога». В русском языке фамилия образована по стандартной модели: к имени добавили русский патронимический суффикс -ов, который указывает на принадлежность («чей?» — сын Ибрагима). Таким образом, «Иьрагимов» — это «потомок Ибрагима».

Географически фамилия Ибрагимов (и её искажённые формы) широко распространена среди тюркских и кавказских народов: татар, башкир, азербайджанцев, чеченцев, кумыков. Если ваш предок носил именно вариант «Иьрагимов», это может указывать на регион, где в документах XIX — начала XX века фиксировали фамилии на слух, без строгой орфографической нормы. Например, в записях метрических книг Поволжья или Северного Кавказа встречаются формы «Ибрагимов», «Ибраимов», «Ибрягимов» и даже «Ибрагим-оглы». Ваш случай — редкое, но объяснимое ответвление.

С социальной точки зрения носители фамилии Ибрагимов (и её вариантов) в Российской империи относились к разным сословиям: от крестьян и ремесленников до купцов и духовенства. Фамилия не указывает на конкретное ремесло или прозвище — она чисто патронимическая, то есть образована от имени отца. Если бы предок был не Ибрагимом, а, скажем, Ахметом, фамилия была бы Ахметов.

Споров о происхождении здесь нет: все версии сходятся к имени Ибрагим. Единственная необычная деталь — мягкий знак, который мог появиться из-за особенностей местного говора: в некоторых тюркских диалектах «р» смягчается перед «и», и писарь, записывая фамилию, механически передал это смягчение на письме. Так что «Иьрагимов» — это не самостоятельная фамилия с особым корнем, а орфографический дубль более известного Ибрагимова, сохранивший живую звуковую историю своего носителя.