Фамилия Иргалеева — женская форма фамилии Иргалеев, а та, скорее всего, образована от тюркского мужского имени Иргалей (или Иргали). Разбираем это имя по косточкам: первая часть «ир» восходит к тюркскому «эр» — «мужчина, герой, молодец». Вторая часть «гали» — это арабское имя Гали (Али), означающее «возвышенный», «великий», «могучий». В сумме Иргалей — это что-то вроде «герой, подобный Али» или «могучий муж». Имя было распространено у башкир, татар и казахов, поэтому и фамилия географически привязана к этим народам и регионам — Башкортостану, Татарстану, Оренбуржью.

Модель образования типична для русской фамилии, возникшей в тюркоязычной среде: к основе Иргалей прибавили русский патронимический суффикс -ев (вариант -ов после мягкого согласного). Получилось Иргалеев — буквально «сын Иргалея». Женский вариант Иргалеева — это просто грамматическое изменение по роду.

Интересная деталь: в отличие от многих фамилий на -ин, которые в тюркской среде тоже встречаются, здесь суффикс -ев указывает на то, что фамилия оформлялась уже в русской административной традиции, скорее всего, при переписях или паспортизации в XIX — начале XX века. Внутри самих башкирских или татарских родов человека могли называть просто по отцу — Иргалей улы (сын Иргалея), но для документов потребовалась русская модель.

Других версий происхождения, например, от географического названия или прозвища, для этой фамилии нет. Корень прозрачный, и спорных этимологий не возникает. Носительница фамилии Иргалеева может с высокой вероятностью считать своими предками башкирских или татарских мужчин, носивших имя Иргалей — скорее всего, это были крестьяне, скотоводы или воины, но не знать, так как имя не было княжеским или мурзинским.