Фамилия Иргибаева образована от восточного имени Иргибай. Это сложное имя составлено из двух тюркских основ: Ир и Гибай. Первая часть, «ир», в переводе означает «мужчина». Вторая часть — Гибай — скорее всего, диалектный вариант имени Гибадулла, что значит «раб Аллаха, поклоняющийся Аллаху». Таким образом, имя Иргибай можно понять как «мужчина, поклоняющийся Аллаху».

Такая модель образования — сращение двух имен в одно — характерна для тюркской антропонимии. Часто так соединяли бытовое имя с религиозным компонентом, подчеркивая и светское, и духовное начало в человеке. Фамилия Иргибаева — это отчество в форме притяжательного прилагательного: она отвечает на вопрос «чей?» и буквально означает «принадлежащий потомку Иргибая». Суффикс -ев указывает на происхождение от мужского имени, оканчивающегося на согласный (или на -й, как в данном случае).

Географически фамилия тяготеет к регионам, где говорят на тюркских языках, прежде всего к башкирской и татарской среде. Встречается она также у казахов. В русской транскрипции у фамилии есть и мужская форма — Иргибаев, и женская — Иргибаева. Передаваясь из поколения в поколение, эта фамилия по сей день хранит память о своем происхождении: о человеке, который носил составное имя, соединявшее в себе земное и божественное.