Фамилия Ирышкова — женская форма фамилии Ирышков, а та, в свою очередь, образована от мужского имени или прозвища Ирышко. Основа здесь — краткая форма от имени Ирина (в просторечии — Ирыня, Ира), но с характерным уменьшительным суффиксом -ышк-, который в русских фамилиях встречается нечасто. Обычно такие формы давали детям или младшим членам семьи: Ирышко — это что-то вроде «маленькая Ира» или «Ирочка», только в мужском роде (по аналогии с Тимошко, Васько). В старину так могли называть сына, родившегося у женщины по имени Ирина, или же просто ласково — парня, которого в семье звали Ирой.

Словообразовательная модель типична для северных и центральных губерний России, где были распространены фамилии на -ов/-ев, образованные от прозвищ с суффиксом -к(о). Суффикс -ышк- указывает на то, что прозвище было именно ласкательным, а не презрительным. В отличие от фамилий вроде Иринин или Иринов, которые прямо отсылают к полному имени, Ирышков — более личная, домашняя форма, закрепившаяся за конкретным человеком.

По социальному контексту носители фамилии Ирышковы, скорее всего, относились к крестьянам или посадским людям — в дворянской среде такие «простые» уменьшительные формы не приживались. Встречается фамилия преимущественно в центральной России и Поволжье, хотя точных данных по географии нет: это редкая фамилия, не попавшая в крупные дореволюционные справочники.

Есть и альтернативная версия: основа могла быть не от имени Ирина, а от тюркского или финно-угорского корня (например, от слова «ирыш» — «песня» или «мелодия» в некоторых тюркских языках). Но она маловероятна: для русской фамилии характерен именно славянский суффикс -ышк-, а тюркские заимствования обычно дают основу без такого уменьшения. Так что версия с Ириной — основная и самая правдоподобная.