Фамилия Ивлякова — женская форма мужской фамилии Ивляков. В русской традиции фамилии на -ов/-ев образовывались от имени или прозвища отца с помощью притяжательного суффикса, отвечая на вопрос «чей сын?». Ивляков — «сын (или потомок) Ивляка».

Основа здесь — прозвище Ивляк. Самое вероятное его происхождение — от глагола «ивить», который в некоторых русских говорах означал «вить, плести, извиваться». Ивляком могли прозвать человека с извилистым, неспокойным характером, либо того, кто занимался плетением — корзин, лаптей, верёвок. В этом случае фамилия принадлежит к «ремесленному» типу, хотя и не такому прямолинейному, как, скажем, Кузнецов.

Менее распространённая, но возможная версия — связь с растением ива. В диалектах существовало слово «ивляк» как название ивового кустарника или заросли ивы. Тогда прозвище могли дать человеку, жившему у ивняка, либо сутулому, «плакучему» внешне — по ассоциации с поникшей ивой. Однако эта гипотеза слабее, так как суффикс -як в русских прозвищах чаще указывает на деятеля, а не на место.

Сам суффикс -як в основе типичен для прозвищной модели: он придавал слову оттенок просторечия, фамильярности. Сравните: Гуляк, Синяк, Добряк. Ивляк — скорее всего, прозвище, данное по поведению или занятию, а не крестильное имя.

Встречаемость фамилии невысокая, она не входит в списки самых распространённых русских фамилий. Это говорит о локальном, возможно, северном или волжском происхождении — именно там чаще фиксируются прозвища с глагольной основой «ивить». В современном русском языке глагол почти ушёл, что делает этимологию неочевидной для носителя.