Фамилия Калижников образована по одной из самых распространённых в русском языке моделей: от прозвища или названия профессии с помощью суффикса -ник- и фамильного суффикса -ов. В основе лежит слово «калижник» — так в южнорусских и украинских говорах называли человека, который делал калиги. Калиги — это вид кожаной обуви, вроде поршней или лаптей, которые носили крестьяне и монахи. Соответственно, Калижников — это потомок мастера-кожевника, сапожника, шившего калиги.

Суффикс -ник- в русских фамилиях часто указывает на род занятий: мельник → Мельников, плотник → Плотников, калижник → Калижников. Важно, что слово «калиги» (или «калижки») в разных диалектах могло означать и просто грубую обувь, и специальную монашескую обувь (от греческого «калигион»). Поэтому предок мог быть не только сельским сапожником, но и, например, мастером, обслуживающим монастырские нужды.

Модель образования «прозвище на -ник + -ов» характерна для северных и центральных областей России, но сама основа «калига» чаще встречается в южных говорах. Это может указывать на то, что фамилия закрепилась на стыке диалектных зон или была принесена переселенцами. В ономастике восточных, западных и южных славян такие именования от названий обуви и обувщиков повсеместны, что подтверждает старинный и сугубо бытовой характер фамилии.

Никакой связи с калёным железом или словом «калить» здесь нет: это ложная этимология. Фамилия Калижников — из числа тех, что прямо и без затей сообщают: предок носил прозвище по ремеслу, и ремесло это было ходовым, но узким.