Фамилия Канкаева — пример того, как за одной словоформой может скрываться несколько совершенно разных историй, и разобраться здесь помогает не столько поиск единственного корня, сколько понимание, в какой среде фамилия возникла.

Самый надёжный путь — разбор модели образования. Фамилия построена по тюркско-кавказской модели с суффиксом -ев, который присоединяется к основе, оканчивающейся на гласный или мягкий согласный. Основа — Канкай. Это либо личное имя, либо прозвище. Именно с него и начинаются расхождения.

Самая бытовая и правдоподобная версия — от диалектного глагола «канкать», то есть «клянчить, канючить». Прозвище Канкай мог получить человек навязчивый, просительный — не обязательно в осуждение, иногда так закреплялась бытовая черта. Эта гипотеза проще других объясняет русскую огласовку фамилии.

Другая группа версий уводит в иноязычные корни. Например, «кан» у народов Восточной и Средней Азии — это система отопления с трубами под нарами. Прозвище могло достаться мастеру-печнику или тому, кто жил в таком доме. Есть и тюркское «кан» — «кровь». Здесь прозвище Канкай звучало бы как «кровавый», то есть храбрый воин. Однако обе эти версии слабее: непонятно, зачем к односложной основе понадобился формант -кай, если исходное слово уже было прозвищем.

Отдельно стоит версия о немецком «Kahn» — «лодка, баржа». Она возможна в переселенческой среде, но маловероятна для массового бытования фамилии: фамилия Канкаева встречается в основном на Северном Кавказе и в Поволжье, где немецкое влияние было локальным.

Наконец, существует предположение, что Канкаева — это переоформленное отчество от имени Конон (греч. «трудящийся»). Переход Конон → Канкай фонетически возможен (редукция и замена суффикса), но это скорее гипотеза, чем установленный факт.

Таким образом, фамилия Канкаева с большой вероятностью восходит к прозвищу Канкай, а оно — к русскому диалектному глаголу «канкать». Другие версии (тюркские, немецкие, греческие) не стоит отбрасывать полностью, но они уступают основной по простоте и языковой логике.