Фамилия Кармешков — редкая и с трудом поддающаяся однозначному толкованию. С точки зрения словообразования, перед нами типичная модель на -ов, указывающая на принадлежность: Кармешков — сын Кармешка. Основа «Кармешк-» — это, скорее всего, уменьшительно-пренебрежительная форма от какого-либо имени или прозвища.

Самая вероятная версия связывает фамилию с тюркским корнем «кармыш» или «кармак». В тюркских языках «кармак» означает «удочка», а «кармыш» — «тот, кто удит рыбу» или «рыбак». Тогда Кармешок (Кармешко) — это прозвище рыбака, которое в русской среде получило уменьшительную форму и фамильный суффикс. В пользу этой версии говорит то, что фамилия могла возникнуть в регионах активного русско-тюркского контакта — в Поволжье, Приуралье или на юге России, где рыболовство было распространённым промыслом.

Вторая, менее очевидная гипотеза — связь с крестильным именем Карп. От имени Карп в народной речи образовывали уменьшительные формы: Карпеш, Кармеш (через чередование «п/м» и добавление суффикса -еш). «Кармешок» — это «маленький Карп», а Кармешков — его потомок. Однако такая модель (Карп → Кармеш) встречается редко, и для неё нет устойчивых диалектных подтверждений.

С географической точки зрения фамилия не привязана к какому-то одному региону. Единичные носители встречаются в разных областях России, что типично для редких фамилий, возникших из прозвища. Сословная принадлежность предков неясна: прозвище «рыбак» мог получить как крестьянин, так и посадский человек, занимавшийся промыслом.

Итог: скорее всего, фамилия Кармешков происходит от прозвища Кармешок — «сын рыбака» или «маленький рыбак». Тюркская основа «кармак» (удочка) выглядит убедительнее, чем производная от имени Карп, хотя обе версии имеют право на существование.