Фамилия Катакова — женская форма от Катаков, а та, в свою очередь, образована от прозвища или мирского имени Катак. Основа здесь — древнерусский глагол «катать», но не в бытовом смысле «катить мяч», а в переносном, характерном для северных и сибирских говоров. В архангельских и вологодских диалектах «катак» — это тот, кто катает валенки, шерстяную обувь. Мастер-валяльщик, ремесленник, чья работа была востребована в долгие зимы. Именно эта версия выглядит самой убедительной: фамилия профессиональная, а не отвлечённая.

Менее вероятно, но не исключено, что Катак — это краткая форма от крестильного имени Катаний (редкое греческое имя, означающее «чистый»). Однако в русской ономастике такие сокращения обычно дают фамилии на -ин (Катанин), а не на -ов. Суффикс -ов указывает на принадлежность: «сын Катака». Это типичная модель для центральной России и Поволжья, где фамилии на -ов доминируют. Значит, предок носительницы фамилии был либо ремесленником, либо человеком с прозвищем, связанным с катанием чего-либо — от валенок до бочек.

Географически фамилия редкая. Встречается преимущественно на северо-востоке европейской России — в Кировской области, Пермском крае, а также в Сибири, куда переселенцы уходили в XIX веке. В старых писцовых книгах Катаковы не упоминаются как дворяне или бояре — это однозначно крестьянский или посадский род. Интересная деталь: в некоторых переписях XVIII века фамилию записывали через «о» — Котаков, что отражает акающее произношение (в северных говорах такого перехода нет, но в среднерусских он возможен). Это ещё один аргумент в пользу того, что корень не церковный, а бытовой.

Сравните с однокоренными фамилиями: Катаев (от «катай» — повелительное наклонение глагола, то есть «работяга»), Катальщиков (прямое указание на профессию). Катаков стоит в том же ряду, но более архаичен по форме: суффикс -ак типичен для прозвищ, обозначающих деятеля (ср. Рыбак, Гончак). Так что человек по прозвищу Катак — это, скорее всего, умелый валяльщик, чьё мастерство закрепилось в фамилии на поколения вперёд.