Фамилия Каташинская — женская форма от Каташинский. В основе фамилии лежит топоним, то есть название места. Скорее всего, предок носительницы этой фамилии происходил из населённого пункта с корнем «Каташ-»: Каташи, Каташино, Каташин или что-то подобное. Таких названий в России и на Украине несколько, но все они мелкие, чаще — деревни или хутора, что делает фамилию регионально привязанной, но не массовой.

Суффикс -ский/-ская в русских фамилиях — типичный признак дворянского или шляхетского происхождения, но лишь в том случае, если фамилия образована от названия родового имения. В реальности же большинство носителей фамилий на -ский получили их от названия места рождения или жительства, особенно в XIX веке, когда фамилии давали крестьянам после отмены крепостного права. Поэтому Каташинская могла появиться и у простого крестьянина, переселившегося из села Каташи.

Корень «каташ» неоднозначен. Самое прямое объяснение — от диалектного «катать»: катать бревна, катать тесто, кататься на санях. В говорах «каташ» — это человек, который занимается каким-то катанием, например, перевозчик или возчик. Но не исключено и тюркское влияние: в тюркских языках «ката» означает «твердый», «крепкий», а «-ш» — уменьшительный суффикс. В таком случае прозвище Каташ могли дать человеку крепкого телосложения или упрямого нрава.

Встречается фамилия Каташинский в основном в западных и центральных регионах России: Брянская, Смоленская, Калужская области, а также на востоке Беларуси. Это совпадает с зоной распространения фамилий на -ский, где была сильна польская и литовская традиция словообразования. Если ваши предки оттуда — скорее всего, фамилия появилась именно в этих краях.

В целом, Каташинская — фамилия географическая, с возможным прозвищным оттенком. Точное значение зависит от конкретного места, откуда пошел род, но в любом случае она указывает на связь с землей и локальной историей.