Фамилия Катиев образована от прозвища Катий. В старину глагол «катить» имел значение «жить без оглядки, гулять, кутить». Поэтому прозвище, скорее всего, носило иронический оттенок и давалось с целью подчеркнуть определенные привычки. Катием в насмешку могли называть бесшабашного, разгульного человека.

Словообразовательная модель здесь прозрачная: основа Кат- плюс суффикс -ий, характерный для русских прозвищ (сравните: Гуляй, Неплатий). Затем, по общерусской модели, к прозвищу добавился патронимический суффикс -ев, указывающий на принадлежность («чей?» — Катиев). То есть буквально фамилия означает «сын Катия».

Интересно, что корень «кат-» в русских прозвищах и фамилиях многозначен. Помимо глагола «катить» он мог восходить к диалектному слову «кат» — палач (в южнорусских говорах) или к имени Кат (краткая форма от Катерина или Капитон). Однако в случае с фамилией Катиев версия с «кутить» выглядит убедительнее: суффикс -ий в прозвище указывает на деятеля, а не на профессию или имя.

География фамилии неширокая. Катиевы встречаются в основном на Северном Кавказе (особенно в Ингушетии и Чечне), что может указывать на более позднее заимствование русской модели в местную культуру. В центральных областях России фамилия редка. Если ваши предки — с Кавказа, то прозвище Катий могло быть не русским, а осетинским или ингушским именем, адаптированным под русское окончание. Но в таком случае исходное значение теряется — и версия с «гулякой» остается основной для чисто русского контекста.