Фамилия Каунидзя — редкий случай, когда географический и языковой след просматривается почти сразу, но точное значение ускользает. Скорее всего, это русифицированная запись грузинской или мегрельской фамилии. В грузинском языке суффикс -дзе (ძე) означает «сын» и образует огромный пласт фамилий (например, Джугашвили — «сын Джугаша», но с другим суффиксом). Форма Каунидзя — это почти наверняка транслитерация фамилии Каунидзе, где конечное «е» перешло в «я» под влиянием русского произношения или письменной фиксации в документах (сравните: имеретинские фамилии иногда записывали как «-идзя» вместо «-идзе»).

Основа «Кауни» может восходить к грузинскому слову «кауни» (кауни) — «почка» (растения) или к личному имени Кауни, которое, в свою очередь, могло быть сокращением от сложных имен вроде Кайхосро (персидского происхождения, «обладающий счастливой звездой») или от имени Николаус (Нико → Како → Кауни). Есть и менее вероятная версия: от тюркского «каун» — «дыня», но для Грузии, где тюркские влияния были слабее, чем в Азербайджане, это сомнительно.

С точки зрения словообразования, фамилия чисто патронимическая: суффикс -дзе указывает на происхождение от предка по имени Кауни. В Грузии такие фамилии в основном принадлежали крестьянам и горожанам, реже — дворянам, но без дополнительных исторических документов сословие предков Каунидзя установить невозможно. В русских архивах фамилия почти не встречается — это говорит о том, что её носители либо эмигрировали после 1920-х годов, либо живут в Грузии, а в России осели единичные семьи.

Самая правдоподобная версия: ваш предок носил фамилию Каунидзе и происходил из Западной Грузии (Имеретия, Гурия), где суффикс -дзе особенно распространен. В метрических книгах XIX века её могли записать на слух как «Каунидзя» — так часто делали сельские писари, не знавшие грузинского языка.